ר' משה זליבנסקי נולד בליטא. במלחמת העולם השניה איבד את אשתו וילדיו הי"ד. בזמן המלחמה נדד לרוסיה האסייתית ושם פגש באנ"ש ששהו שם באותה תקופה והצטרף אליהם.
לאחר המלחמה יצא עם אנ"ש לפוקינג, גרמניה.
אחר כך עלה לארץ הקודש. בארץ התחתן שנית עם מרת צילה לבית גואריה, בתו של ר' מנחם מנעדל גוראריה מקרמנצוג ואחותו של הרש"ג, גיסו של הרבי, וחתנו הראשון של כ"ק אדמו"ר הריי"צ. מנישואין אלה לא היו לו ילדים.
התגורר ברמת גן ברחוב חיבת ציון 42. התפלל בביהכנ"ס חב"ד ברמת גן ברח עוזיאל.
במשך שנים היו חסידי חב"ד תושבי רמת גן נוהגים בשמחת תורה ללכת מבית אחד למשנהו, מתוועדים בבתים והולכים תוך כדי ריקודים ו'קולעס' ברחובות העיר, אחד מהבתים היה ביתו של ר' משה.
נפטר בח"י ניסן באחד משנות הלמ"דים.