הרב שלמה סודובסקי נולד לאביו ר' צבי הירש מינוביטש שהיה בנו של ר' עזרא ממקושרי אדמו"ר הזקן ואדמו"ר האמצעי.

היה מראשוני התמימים בתומכי תמימים, שם התחיל ללמוד בתרנ"ח. כשהגיע לליובאוויטש, היה שותף בויכוח עם אפיקורס בשם ווינשטין שהיה מורה בבית הספר בעיר, והוא נצחו, עד שהמורה לא מצא מילים לענות לו. כשסיפר על כך לאדמו"ר הריי"צ שהיה מנהל הישיבה, לא היה הרבי הריי"ץ מרוצה מכך.

בתר"ס מונה למסור שיעור בנגלה בפני התלמידים, וכחלק מהנהלת הישיבה.

בהמשך נסע לארצות הברית ושם מונה לרב בבית הכנסת "אגודת אחים – נוסח האר"י" ברוצ'סטר וחבר ועד הרבנים שבעיר.

היה חבר דירקטאריון אגודת חסידי חב"ד בארצות הברית משנת תרפ"ו ואחר כך היה ב'ועד לערי השדה'. כן כיהן כסגן נשיא באגודת התמימים.

היה תורם סכומים גדולים עבור ישיבות תומכי תמימים ותורת אמת.

בתש"ג, היה מרבני אמריקה שחתמו על מכתב המחאה של אדמו"ר הריי"צ נגד העברת ילדים חרדים לחינוך חילוני על ידי הסוכנות. עמד בהתכתבויות הלכתיות עם הרוגצו'בר. כמה מהערותיו התורניות נדפסו בקובצי יגדיל תורה והפרדס.